***Linkが 回復しましたので好みの年度をクリックして下さい。

今 年度、難関某国立大（文）の問 題。整数問題ですが結構なレベルでおもしろい問題です。
解 答を寄せた方には出題先をご連絡します。今後同様。

今年度、某国立大の問題。（２）がなか なかの良問です。これが解ければ（３）は易しい。

類似問題を１問追加 しました。某国立女子大の改題です。これが解けるとこの手の問題は大丈夫のレベルでしょう。




（１）、（２）　と もに受験生なら一度は解いているでしょう。（２）はガロア理論からの出題。解答を寄せた方には出典と解を
教えます。高校の教 材から離れた面白い解法になっています。




(3)はガロワ 群と呼ばれ分野からの出題、難しいですがかなりの良問です。
良問と言われる中に は、代数分野だと、これもガロアあれもガロアと背景にガロア理論が絡んでいる問題がかなり見られます。




某私立大（商）の問 題
難しくはないと思い ますが、なかなかの良問でしょう。




今年度、早稲田（政 経）の問題。２月、３月と整数問題が続きましたが整数問題は 解いていて面白く疲れないところがいいです ね。

大方の予備校が、概 評に「レベル的に昨年と同じ」とコメントをしているが、自分 と しては難しくなったのでは
と思う。名大の問題 は難しいけれど丁寧につくられていて良問ぞろいです。何処を 受 けるにせよ、名大の問
題をどれくらい解け るかが一つのバロメーターになるでしょう。
自分は、いつもこの 大学の問題から目を通すことにしています。予備校の概評とは 異 なりますが、今年は名
古屋大、京都大が特 に難しかったと考えています。この問題の（３）など完答者が い るのかなと思うぐらいです。

正弦定理から求積させていく問題はあまり見たことがなく最初手間 取ったと思われる。
スタートの部分がクリヤーできればそんなに難しくはないが、この問題のでき不出来が
合否の境目になったのかもしれない。数�Vの問 題。

）
今年度問題の名作だ と思います。

遅くなりましたが、2問 選びました。
�Tはωの 問題。特に、（１）は空で解けるはず。複素数関係の問題は、今年度から
結構増えるだろうと思います。

�Uは、 ３次方程式の判別式の問題です。
D＾２＝｛（α-β） （β-γ） （γ-α）｝＾２ 　となっています。この辺もガロワ関係で必ず
顔を出します。生徒は知らなくても教える側は知っておいた方が良いに決まっています。

もう１週間しかあり ませんが本年度理系１番の問題です。よく出題される問題です ね！
遅れすぎて申し訳な い。

自 己推薦受験者用の問題からの 抜粋。7問 のうちの最初4問 です。









かって、似た問題が 名古屋大(理 系)で出題された記憶があります。
そのときは右辺の値 が１になるようにつくられていた気がします。



 

２日早いですが2015年1月の問題です。正月休みにでも取り 組んでみて下 さい。
問題は、２００３年 阪大理系（後期）のものです。解析数論と呼ばれる分野からの 出 題で
πの無理数性を 問題にしています。難しいですがかなりの良問です。

［�U］は 早稲田理工の問題
３は慶応理工の問題

共に専門的な背景を もっています。
［�U]は 整数論の「デフォンタス方程式」からの出題
３は集合論の「カン トールの３進集合」からの出題
実は、私も北海道コ ンテスト問題に出題したのですが、較べるとこの問題の比ではな くさすがプロ
という気がしまし た。

この手の問題は解い ていて楽しいし力もつきます。

名 大の問題。背景に「ガロワ理論」があります。問題作成は結構難しいものです。
だから、易しい問題 （教科書を参考にしたとか）でない限り何処かに種があるはず
なんです。



名大は去年より易し めになったと思います。(3)は 目の子で直ぐ出るでしょう。
「ガロワ」と云って も、直接この理論を当てはめられないのですが、（２）は拡大体

の中で考えれば４個 の解の見通しがつきます。

京大理系５番
間もなく私用のため不在となりますので、期日が早いのですが４月の問題を
用意しました。


予備校の解答が出ていますが、京大の受験生といえど果たしてこんなに厳密に
高校生がやれるものだろうか？
少々疑問のところです。もっと素朴に解いて良いと思うのですが。

桜も開花し、北海道の本格的な春が例年 より少し早めに始まっています。緑の若
葉の芽が吹き出す頃が一番の時なのだと何時も思います。

イアン・スチュアート「明解ガロア理論」からとっています。単純拡大体と云われる
分野からの出題です。結構時間が掛かるかもしれません。

旭 川医科大学の問題２問（昨年度）です。

問 題１は良問です。難しくはないですが、手こずった受験生は結構いたと思われます。
こ の問題を完答できたかどうかが合否の分かれ目になったと思います。

問 題３は医学系の問題としては簡単すぎると思われます。医学科の受験生ならできて
当 たり前の問題。ただ、予備校の解答にはSimpleでないものもみられます。



 

うっかりしていて、8月 になることが頭になかった。そんな訳で今月は2問 いきましょう。
1問 目は今年度の早稲田大（人間科学）、ベクトルの問題。 正直、難しく考えすぎて解法に失敗した問題です。
中 学校の比考えて頭が熱くなってしまった。解いてしまえば至っ て簡単な問題。合格者は全員完答でしょう。
そ れなのに・・・・です。

2問 目は同じく今年度の東北大（理系）の問題。整数問題で なかなかの良問といえるでしょう。
お もしろい問題です。ただ、受験生には難しかったのではと思わ れます。

先 月同様、うっかりして いて、９月になることが頭にな かった。
8月 はそんな訳で２問でしたが、今月は何かと手狭なので1問 とさせていただきます。
問 題は、ある私学の生徒から相談を受けた問題です。何年度の問題なのかは不明。
図 形問題としてはいい線の問題です。

セ ンターまで１００日程とな りました。受験生 の皆さんは寸暇を惜しんで猛勉中でしょ う。
乗 り越える術は、自分と志望先の距離を正確に計り足りないところを補強していくこと
で しょう。ただ、闇雲に走らない客観的に自分を見つめていく事が最も大切だと思います。
今 回は、２０１４京都大（理）で出題された問題です。易問です京大受験生なら落とせな
い 問題ですが、一カ所落とし穴があります。それに気が付くかどうかが分かれ道、遠目
で みることが大事という教訓通りの問題です。



 

　２０１４年度　同志社大（ス ポーツ科学）の問題。（１），（２），（５）は易問ですが （３）、（４）が良問と
いえるでしょう。

センターまで４５日程度。受験生なら、 センター対策に主力を注いでいるはず。
センター向きの問題をとりました。関学２０１５年度と慶応（薬　２０１５年度）の問題 です。

　第１問は、基本問題でよくあ る問 題です。ただ、経験上、これが本当に分かるようになると、
この分野の苦手意識が薄れていくようです。 納得するまで何回も繰り返してください。

　第２問は、早稲田大の過去問で原始ｎ乗根からの出題です。

　複素数の出題は2年目の今年から本格的な出題になるはずで す。

第１問



第２問

主な私大の問題が出揃ったよう で す。国立2次 のための腕試しにやってみて下さい。
一問目は慶応理工、二問目は早稲田理工の問題。

早稲田はみて分かるように複素数の問題。慶応（２）、実際は複素数 の問題です。
早稲田の方が少し難しそう、慶応の方は少ししゃれた感じがします。

複素数の問題はいろいろな領域を含んでいますので、複素数の攻略こ そ合格の
決め手になるはずです。

成績評価で夢中になっていたら3月3日のひな祭り。2月は、ホント、飛ぶように過ぎ
たようです。

今年度、最初の問題はいつも通り 名大（理）から、その第1問 です。予備校の解答は、
「解と係数の関係」によるのもが多いと思われますが、分数関数に持 ち込んだ方が
見通しが効いて楽です。出だしはベクトルで中頃から分数関数というstepをとって
みて下さい。

追加問題です。　京都大（理）第1問 で数�Vの問題。８割ぐらいの人が完答していると思いま す。
そうでないと合格はまず無理。ただ、公立の現役生は、まだここまで 習っていないでしょうから
分からなくて当然と思って下さい。　
比較すると名大の方が難しいでしょう。　　　　　　　　　　　　　 　　　　

東大（理）第1問。 自然対数の底eは ネピア数と呼ばれています。その導出に絡んだ問題
となっています。
単純に微分の適用ですが上手くやらないとごちゃごちゃしてきます。 より良い解法を探って
下さい。なお、eの 導出の周辺は受験参考書ではなく大学教養の「微分積分」の易しい本で
当たっておいた方が宜しいでしょう。
周辺部分は、2項 定理とその変形などの知識が「収束を示す」のために必要となってきます。
ただ、受験問題として解くだけではなく、その深くて面白い内容を堪 能して下さい。きっと元気
が出てきますよ！これに費やした時間は無駄にならないはずです。

再び、東大（理）の問題、第３問 です。
東大にしては易しめの問題。ほとんどの受験生が解いたのではと思わ れます。この問題で
差は付かなかったでしょう。ベクトルと微分の融合問題です。

東大（理）第４問。良問です。複 素平面の全てが埋め込まれているような問題。分からない とこ ろは
教科書で当たるなどして時間をかけて解くべき問題だと思います。今 年度の名作かもしれません。
解けたとしても、解法にスムーズさを感じないときは、もう一度2月の問題（１）に取り組むべき です。

なんか、問題が増えています。今回の追加は上が東北大、下が京都大です。
東北大（１）は易問、できて当たり前の問題です。（２）は京都大の ヒントになるでしょう。
解いていませんが、素数の吟味ができればともに難しい問題とは云え ないようです。
それにしても、よく似た問題ですね。驚きです！

大阪大（文）の問題。かな り コネコネ度が高い問題となっています。慣れておく必要

がある問題なのかもしれません。

東北大の問題。標準的な問題です が癖がない問題で１回は解いておくべき問題でしょう。

名古屋大の問題。（１）未知数６ 個の整数問題。処理を工夫すると上手くいきます。和をと るか 積をとるかの選択で決まるよう
です。面白い問題です。　　　　（２）は難問らしい、解いてはいま せんが。
(2)も 和でいくか積でいくかの選択で決まりそうです。（０４１２）

今月は、札医の問題。今年度は少し易化したようです。旭医1番 （４）は、気がつけば易しいが難しいかも。
考えすぎると、負のスパイラルに入っていきそうな問題。予備校の講評とは異なり完答者 ０じゃないかと思
っています。

札医・・・2番 の（２）、（３）が難しい。４番、意外と数�Vでは定番の問題でしょう。すぐ、増減表に走り
　　　　　とがちだと思いますが、２つの関数に分けて素朴に調べていった方が正確で近 道になります。
　　　　　増減表をつくらずにグラフが描けたならその方がいいのに決まっています。

旭医・・・数値解析からの出題。級数展開を使ってlog2の 値を求める問題が背景にある。上手いつくり
　　　　　方である。問4は 難しい、完答率はかなり低かったと思われる。ただ、数列、級数は、困ったら
　　　　　泥臭く調べ尽くす（n=1か ら予想がつくところまでかき出す）ことが大切。それが実感できる問題
　　　　　となっている。

札医

旭医

　 　 　　　

今月は一橋大の問題をいきましょ う。文系とはいえ、数�V までが範囲になっていて問題も難しい。
第1問・・・・ 整数問題、ｘ＝０が一つの解であることに気づくかどうか。気づいたら、「互いに素」なる性
質の利用になるでしょう。そのためにちょっとした工夫が必要。でも、これは定番の方法 なのかもしれ
ません。それがヒント。

第２問・・・・固有方程式の解が虚数になるので、漸化式ではなく、単に三角方程式の問 題と捉えられるか
どうかで決まったでしょう。一橋の問題としては難しくはないですが、細かいところまで 採点の対象になった
はずです。合否の分かれ目の問題だと思います。

今月も一橋大の問題です。6月 も入れてこれでほぼ全問になります。4番 よくある問題です。

５番は結構難しい。頑張ってみてください。

今月はオリジナルの問題です。数�Vからの出題となっています。
見かけ以上に難しいと思います。頑張って解いてみてください。
オリジナルの問題とはいえ、２，３の文献を参考にしています。

オリジナルとは云えませんがガロ ア 理論からの出題です。


　
　　　　　　　　（２）のθの指数は３です。θ＾３ となっています。

今 月は阪大の問題2問 です。第１問は方程式を考えるように進めると見通
しはよくなるでしょう。第2問(2)は結構難しいかも。とにかく、先急ぎをしな
いでじっくり行くことが今まで以上に大切。発想の部分にこだわって下さい。
それが後々いい結果を生むのです。

藤田「解いてわかるガロア理 論」を参考に作ったオ リジナル の問題です。

範囲は数�TAと なるでしょう。新傾向の問題と云えます。今月中頃までには

もう一問追加予定です。

神戸大の問題です。整数問題でなかなかの良問といえるでしょう。
熱心な読者がおられるようです。
また追加問題を入れるかもしれません。頑張って下さい。

　上と同じ神戸大の問題です。教 科書レベルの問題ですが、この辺を苦手にする
現役生を結構みてきました。問題の指南書を現在作っているところで す。まもなく
アップロードします。会員登録を済ませておいてください。
　

今月はセンター向けの問題です。受験生は本番に向けて必死のところだと思います。

問題は、関西大・同志社大の問題から とっています。

                     　　　　　　　　　　　　　　　　　　 上の（２）は数�Vの問題となります。

　2016年 度の問題から、またセ ンター向きの問題を上げましょう。少々難しいでしょうが時間をかけて
解くべき良問となっております。出典は次回と云うことにします。
　受験生は正月返上で追い込みをかけます。センター本番まで後半 月、問題数は７問と通常より多い
ですが粘って解いてみてください。健闘を祈ります。

2次 試験まで1ヶ 月を切りましたので、少し早 いですが2月 の問題をUPします。

受 験生にとってはこれが今年度最後の問題になります。この一年間、閲覧ありがとうご ざいました。
皆さんの幸運を祈っております。
　　　Good Luck ！!
１問目は神戸大（２００４）の問題。　原始ｎ乗根の性質利用になり ます。
２問目は秋田大（２００６）の問題。　ベクトルと極限の融合問題。

第１問

第２問

2次 試験が1週 間後となりました。受験生の皆さん頑張っていますか？最後まで粘ってください。
早稲田の２問を追加問題とします。解いてみてください。





（１）のような問題は、ベクトルのような扱いで処理した方が簡単で す。つまり、終点−始点（ｚ１−ｚ２）のように
処理したほうが簡潔です。（３）が難しいかもしれません。解けなく ても気にしない方がいいでしょう。



（１）のような問題は、イメージとしては1次 関数が性質が大人しいことから指数関数から押さえていけばよい。
それを×た だけです。大雑把に捕まえてから増減表でしょう。（２）、（３）も多少の計算を必要とするだけ、早稲田
としては易問です。標準的な問題といえます。

同じく早稲田5番 です。（１）〜（２）はそれほど難しくないはず。(3)は、 共役体と巡回群の問題。解をα、β、γと
簡単にします。すると、写像gで、α-->β-->γ-->αと 移っているのが分かります。つまり、｛e,g,g^2｝ となってい
ます。背景にガロア理論があります。このサイトの、「私のガロア理 論（ガロア９、１０）」に関連事項があります。

小用が入りましたので、２日早いですが３月の問題をアップロードします。高２生もおられるでしょうから、標準的な
問題を２問取り上げました。ともに北大の問題。１−（１）は何をや ればよいか直ぐ分かると思います。（２）は、（１）
からｎの範囲がでますのでその範囲で調べればいいのです。直ぐ手を 動かさなくても解法の概略が見えてくる問題
です。問題２。公立の現役生だとまだ習っていないか もしれません。
ともに、教科書の章末レベルの問題。完答が合否の分 かれ道を決めたでしょう。

名 大の問題。名大にしては平凡な問題です。これが解けないと合格は無理だったと思い ます。
（１）　教科書レベル。
は 直ぐ出るでしょう。
（２）　v(s)はlogにマイナス付きでイメー ジ、これは簡単。u(s)は 直ぐ増減表とは行かない。s=e^aが 解は目の子で出るはず。これより左でｔ軸より
右でｓ＞０は当たり前、（　　）の中も０〜e^aま では正、e^a以 上で負、問題はｓ--->＋０ とｓ--->＋∞のそれぞれの 値ですがこれも予想できるで
しょう。前者は０、後者は−∞は 苦労しないで出てくるはずです。上 に凸で第１象限と第４象限に渡るのですから概形が2次 関数に近いことまで予
想できるでしょう。このように全体をボヤーット捉まえてから増減表 です。増減・凹凸と指示があるので増減表の作成は免れません。

今月から２０１７年度と年度を変えています。

名古屋大（理系）第４問です。新傾向の問題。（１）（２）が何とかなりそうな問題ですが、手こずった受験生が多かったと思われます。（２）は難
しく考えない方がいいでしょう。Z（±−１ではない）に対して、Zの逆数と−Zがあります。従って、−Zの逆数もあります。Zの個数がｎ個あるとし
て、この場合の個数を考えてみてください。最後に、±１の場合の個数を加えることを 忘れないで下さい。予備校の解答とは異なるでしょうが、
これが出題者の発想だったと思います。

少し早いですが、 ゴールデンウイークもありuploadすることにしました。暇があれば中旬もう一問用意するつもりです。

京都大の問題。第1問
配点からサービス問題となっているのでしょうが、（２）が結構手こ ずりそう。（１）も処理の仕方では泥沼になるかも。
（１）のポイント・・・ωω’＝｜ω｜＾２＝R＾２　（フオントの関係で、共 役な複素数をω’と します）。これの積極的な運用になります。
ωが絶対値・・・とありますので、ωω’＝R＾２を使うことに素直に乗っか りましょう。下手にωを 変数扱いにすると大変になると思います。
実際やってはおりません本能的に避けました。
１／ω＝ω’／R^2　 で式変形を進めてみてください。上手くいくはずです。予備校によっては、「どうかな？」という解答がみられます。
（２）はちょっと難しいかも。部分点稼ぎで手を打つべき問題だと思 います。

東工大の第1問
整数問題の良問になるでしょう。 受験者層から考えて大半の人が完答したものと思われます。
N=１０８を見つけるのはそんなに難しくありません。これを中 心に考えれば完答可能でしょう。

東工大第５問　　これも、（１）、（２）が難しくはないけれど良問でしょう。受験問題らしくないところがいい。
（３）頭をフット振らないと気が付きにくい問題。（１）〜（３）お勧めになります。

今月も東工大の問題から2問。 第３問と第４問をえらびました。ともに、かなり難しいですが良質ないい問題だと思います。現役生にはまだ早い問題かもしれません。

神戸大の今年度問題から1問 選びました。後日、もう1問 追加予定です。数�V の 頻出問題といってよい
かもしれません。ただ、（３）は苦しんだ受験生が結構いたのでは思われます。本番まで に、十分なれて
おく必要があると思います。ゆくゆくは、この手の問題を得点源にすべきです。
運動だと、f'"は 加速度になります。f"<0か ら上に凸のイメージをつくることが大 切。

8月 と同じく、神戸大の問題から第5問 目。数�Vの微積分野となります。（１）はサービス問題で、これに失敗
すると回復は難しいかもしれません。基本ベクトルですが、結構悩んだ受験生もいたと思 われます。
回転には、複素数が有効です。最も明瞭で正確に解くことができます。ｚ（Q1)＝-riにωｔの回転を表す複素
数を掛ければよいだけです。
（２）はグラフの問題になりますが、完答は厳しかったものと思われます。

１０月を迎える頃、現役生はいままでの地道な頑張りが結果となって現れてくる頃です。
北大第4問、 確率の問題。（１）は直ぐ分かると思います。（２）場合分けだと気付くでしょう。（３）はちょっと手間取るかもしれません。
いずれにしても、良問といえます。

北大の第2問、 数学�Vの問題。基本問題だと思います。ただ、 （３）の単調減少で前後が正と負であることから、ただ一つの
解を持つことになります。これをはっきり宣言しましょう。一つのポイントです。プログ ラム言語「Python 」で解を作ってみました。
受験目前の3年 生は無理でしょうが、1，2年 生は時間があるのでPythonを やってみてください。結構、数学の地力 アップにも
つながるはず。さらに、AI等 にも深く関わっている言語です。学んで損はありません。

東北大第1問 です。（１）は易しい。（２）もそれほど難しくあ りません。ただ、接点利用以外の解法だとミスをするかもしれません。
範囲は数�UBで す。

お正月も目の前ですの で、早めにアップロードします。その代わり、1月 中旬までにもう1問追加します。
東京医科歯科大の３番
（１）のような問題は、結構パターン化されているようですが、そのまま当てはめようと すると失敗します。

原始関数と被積分関数の 関係を、自分の力でチェックできるかどうかを見ようとしています。基本に立ち

返って、チェックができ る受験生には標 準的な問題だったと云えます。右辺第３，４項目の形に戸惑った

受験生もいたことと思い ます。困ったら、定義に戻るのが間違いのない近道となります。結構、面白 い問

題 と云えます。（２）は （１）ができれば簡単です。（３）は積分定数を決めるのに少々時間がかかるか もしれません。  

大阪大学の第1問 目。センター試験対策の合間にでも解いてみて下さ い。易しいです。略解を付けます。

 東工大第2問 　数�V　積分の問題。積分区間を丁寧に拾って積分 するだけの問題。東工大としては易しめの問題になります。
ただ、多くの受験生は、難しく考えすぎて失敗ケースにはまったのではと思われます。
『問題を解くには、難しく考えず素朴な発想が必要』ということを改めて確認させる問題 です。
そういう点で良問と云えるでしょう。積分区間の場合分けは、目の子でできるはず。そう いった訓練を通して読みが深くなっていくのです。

アップロードが遅くなり ました。ここでしか触れれませんが、「WordPress」 に 問題が発生し、新たにサイト

を構築しなければならな くなりました。今月中には何とかしようと思っていますので御存知おき下さい。
今月は、早稲田の今年度問題からです。人間科学（文型＆理系方式）の問題。最初の３問 が同じで

４問以降が�UB、�VCと 分かれます。文型方式のほうが易しめです。もう２年生が閲覧を始めると思い

ます。最初の問題として は手ごろでしょう。特に、第１問から第３問は基本中の基本で す。解けないとき

は、 この問題の基礎部分 の徹底した復習が必要です。

ここから、理系方式

問４（１）　目の子でできますかね？早くできるようになってください。感覚が先、細かい理屈は後、それを全て頭の中でやれるようになって下さい。

今月も遅くなり申し訳なく思っています。
まだ、HPの 修正が終わっていませんので、他のところでもご迷惑をおかけしていると思います。暫しのご容赦をお願いします。
今月も早稲田の問題、理工第1問 です。（１）、（２）はそれほどでありませんが（３）は難しいと思います。ただし、良問。
今年度もこの手の問題は増えると思います。

遅くなりました。今月の１問は名大 （理）第3問 の整数問題です。名大の問題としては易しめな出題となっています。2項 定理の応用問題。
（１）、（２）は直ぐに気付いたと思われます。これが解けなければ合格にては届かな かったと思います。
（３）が少し難しいかもしれません。＊＊pCrが ｐの倍数であることが示せるかどうかです。いい例題ですので完璧にできるまでやってください

東大理第１問です。東大の問題にしては かなり易しい。受験者全員が解けたことでしょう。数�V微積の問題です。
解答するためには、次が当たり前の知識になります。

＊＊　x>sin(x)（ｘ＞０） 　＊＊
この大小が証明できること、グラフが描けることが、目をつぶっていてもできなければな りません。
極めて基本的なことですが、これがこの問題の核心部分です。

なお、Pythonで 作成した略解も参考にしてください。

　　
                              Pythonでの略解
　 　　　

1日 遅れになりました。問題は予備校のｐｄｆをコピー しているのですが、adobeの ｐｄｆファイルにガードがかかっており、 それをはずそうとしたのですが、
今回は上手くいきませんでした。出題は大学ですので、予備校がガードをかける必要はあ りません。Adobe側の戦略的な問題なのでしょう。
とにかく、いろいろなところで、益々世知辛い世界になってきています。ご覧になってい る受験生の皆さんは、どんな時代に生きるんだろうと思いを巡
らせざる得ません。受験勉強の合間にその辺あたりの問題意識も高めてください。少しば かりの横道は人にとって大切なことです。様々な横道を
経過する中で、人は鍛えられそれが輪郭を大きくしていくものだと思います。

今月の問題は、「名古屋大　第２問」。上述したように、ｐｄｆが困難ですので、他のエ ディターを使っています。多少、見づらいかもしれません。

問題の（１）、（２）について。不動点の問題です。与えられた、指数関数と対数関数は 互いに逆関数ですので、ｙ＝ｘ（不動直線）で対称です。
底aと １との大小に関係で、どちらもともに単調減少or単 調増加になります。したがって、交点は2個 以下は当たり前となります。当たり前に答えるのは結
構難しい場合が多いもの、でもこの問題はさすが「名大」という感じがします。

解の「ある、なし」、つまり存在に関わる証明は基本的に背理法となります。

　　　　

　北海道もいよいよ暑くなってきまし た。本州は35°越 えとか、受験生には酷な暑さとなっているでしょう。特に、現役生はこれからが
伸びる時期に入ります。暑さにめげず、一頑張りして下さい。
  今月の問題は、京都大第２問(理 系）です。何でもそうですが、気がつけば難しくありません。普段、泥臭い調べ方をして、それから
抽象に入るというやり方が身に付いている人には易しい問題と云えます。ただ、問題とし てはもう少し工夫がほしいと思います。
　かって、何処かでふれましたが、数学者の「秋山　仁」さんは、「数列の問題はとにか く調べる。１０項でダメなら20項 と調べるといい」
と講演で話したことがあります。これは、数学全般に云えることです。泥臭い格闘を好ん で下さい。塾の分かり安さとは真逆のものだと
思います。
　Pythonで の出力結果も載せておきます。解法が思いつかない時はこれを参考にして下さい。出力結果に気づくと後は何をやればよい
か分かると思います。　　今月も「コピーガード」が外せませんでした。悪しからず願い ます。

　　　 　

Python資料　　2018　 京都大　2番


　　　追加問題
　　　上 の3次式を導出して下さい。

　　　＜注意＞これもそれほど難しくありません。これができたら、この問 題のからくりが分かるはず。

　北海道はもう秋の兆し、35°の 本州の暑さが羨ましいほどの気温となっています。
受験生はこれからが正念場を迎えていきます。大切なのは粘り、どれだけ粘れるかが
勝負の分かれ目になってきます。このサイトを訪れている受験生皆さんのご健闘を願って
やみません。
　今月も、京都大学の問題で理系4番 となります。方程式　ｘ＾３＝１の解、１，ω、ω^２を
利用しています。問題文から、ｎが何であれ移動先はこの3個 のどれかになります。
　ｎ番の確率を漸化式でどう表すかが問題、でもなかなか難しいですね。以前も触れまし た
がωが らみの問題は極力解くようにして下さい。ωは 数学力を高めます。

問題文、手打ちです。

京都　２０１８第４問

早いものでもう10月、 北海道は完全に紅葉の時期に入りつつありま す。また、台風24号 が日本を
襲っていいますが被害の拡大がないことを願っています。
今月は東工大・第2問、 整数問題になります。整数問題は難しいですがその分結構楽しい問題が
あります。この問題もその範疇に入るでしょう。
係数が小さくなるように式変形を続けていく方法で解答しました。困ったときに使えるよ うにしておい
て下さい。
他の予備校のものと較べ、代ゼミの解答がこの問題では一番だと思います。参考のため覗 いてみ
下さい。問題文、手打ちです。


略解東 工大第2問

今月は札幌医科大の第１問を取り上げま した。最初の問題は、サービス問題が一般的ですが、
難易度は（１）-->（２）-->（３） と下がっているようです。
（１）は式変形でいくには難しいと思われます。背理法が最も簡単でsimpleな 解法になるでしょう。
ただ、機械的に当てはめようとしたら循環論法になり失敗ケースになります。結論の否定 を同値
な３つの場合に分けてから適用してください。意外と簡単にいくはずです。
（２）は、主旨解釈に苦しみますがそれが分かれば意外と簡単かもしれません。
11月になり、返ってくる模試の結果が気になるところです。ダウン気味になってき た場合は、難しい
ことをせず基本に忠実になることが肝要です。事実、こうアドバイスして無事この大学に 入学した生
徒が過去におりました。8割 ぐらい解答できたと話していたのを思い出しています。焦らずに進めて
下さい。問題文、手打ちです。

札医第１問

今月は大阪大の第２問を取り上げまし た。（１）（２）はともにそれほど難しくありませんが、
パターン化されにくそうな問題なので苦しんだ受験者は多かったように思えます。
式を評価しながら式変形をしていくと正解が見えてきます。教科書に即した素直な発想が
問われている問題になっています。
物理などの問題に誤りが指摘されたのが記憶に新しいですが、この問題はなかなかお
しゃれな問題に仕上がっています。（１）は特にそうです。
(1)について
題意から、式変形を進めるとc^4-ac^3+bx^2-ac+1=0が でます。特徴があります、相反方程式と
呼ばれるものです。直接利用できなくても何かやれそうです。偶数乗と奇数乗を分けて、
c^4+bc^2+1=ac^3+ac　としてみます。a,b＞０ でしたので、ｃ＞０なることを示すのはもう簡単ですね。

センターまで1ヶ 月を切りました。受験生の皆さんには、年末も年始 も無い毎日となっていることと思います。
少し早いですが、今月の問題をアップロードします。センターを意識して、慶応理工の第 １，２問を取り上げ
ました。2020年 度からの「大学入学共通テスト」がスタートしますが、今回取り上げたような問題に類似した
ものになっていくものと思われます。空欄が用意されると、解法はそれだけタイトになり ます。その分、基本を
大切に、基本に忠実に、水が流れるように素直に推論する必要があります。センター準備 に没頭しながらも
いいお正月を迎えて下さい。

＜ヒント等＞3問 とも易問ですがいい問題です。
3問とも方程式の性質を意識した問題となっています。（１）相反方程式といわれる ものですが基本問題の
レベルです。（２）解と係数の関係と実数条件を組み合わせた問題設定になっています。 解法の鍵は導き
出された式の中にあるものです。それを適切に探り出すには、自然で素直に問題を見る目 を必要とします。
初見時の数学者の発想は見事なぐらい自然で素直なものです。
（３）式はできるだけ簡潔にが鉄則です。因数分解し約分をすると、分母はx^2+x+1とωが らみの式になり
ます。(x-ω)(x-ω^2)と 因数分解できますので、分子の式がωとω^2を 解にもつことをいえばよいのです。
複素数は理系分野にはついて回ります。受験数学もその例に漏れません。ωの 攻略が数学の攻略に繋が
ると言ってもいいぐらいです。


＜ヒント等＞(1)〜(3)は 重複順列の応用になっています。
(4)はn-1回 目までの何処かで1回 のみ1，2の 目がでて、残りはそれ以外の目が出る。さらに、n回 目に1,2
ので目がでればよいのです。(5)は 少し難しいかも。

国立2次 試験まで一ヶ月を切りましたので、今年度最後の問題になります。今回も慶応2問 を選びました。
ともに理工・医学の第3問 目で、三角関数と積分の問題となっています。
３の 理工の 方が若干易しそうです。(3),(4)あ たりは理系受験には必ず出題されます。はさみうち、もう一度
確認してみて下さい。元々は、最初の与式はsinθだっ たと思われます。このままでも解答できそうですが、
x=cosθと変換した方が間違わないでしょう。
�Vの 医学の（１）、出だしからちょっと難しいようです。ただ、和<-->積 の問題だとは気付くはずですが、すん
なり片付けられたら自信をもってよいでしょう。

受験日が近づくと難しいことをやりすぎる傾向が出てきます。バランスの問題があります が、基本を大切に基
本に忠実に、そしてSimpleに を心がけて下さい。これこそ合格への近道です。

2次 本 番まで10日 ほどになりました。「基本に忠実に、素直に解釈し、Simpleに 発想する」ことを心がけて
いきましょう。
慶応の今年度問題2問 を追加します。理工の問題は、まだ予備校から解答が出ていないようです。
（2月13日 時点）

慶 応理工


（１）(i)　 両辺にx^(1/2)を かけましょう。右辺は−x^(1/2)と なります。これはマイナスの値で減少
関数となっています。したがって、x--->+0を とると０へいきます。xは--->+0で ０となります。
後は、はさみうちでOKで しょう。
（２）　第2式 を因数分解して第1式 で割ってスタートとなりますか？
（３）　余り見かけないスタイルですが騙されないことです。ベクトルのままで微分積分 は無理、
全てがスカラー量になりますのでそれを計算するだけです。

慶 応薬



（１）　ルート(A^２）＝|A|で 次数を下 げましょう。後は、場合分けの問題。
（２）　分数指数を基準に置き換えていくだけ
（３）　階差数列の問題、ぶっ通しで和をとりｂ_ｎを求めます
（４）　ヒントに従うだけ
（５）　教科書レベルの問題

国 立前期が終わりました。このコーナーを閲覧されていた生徒の皆さんに栄光あれと願って
やみません。いつも、アップロードに合わせて閲覧数が増えます。新年度もまたご期待に 添え
る内容を盛りたいと考えています。
まだ解答が予備校から出ていない京都大(理） 第2問 をまず取り上げます(2月26日 現在）。
次に、早稲田理工第１問。ともに整数問題となっています。最後に北大第1問 を取り上げます。

京 都第2問

＜Hints>難 しく考えない方が良さそうです。まず、偶数のときを考えてみてくださいx=0以 外では
素数は無理です。したがって、x=0付 近を丁寧に調べるとよいでしょう。


早 稲田理工第1問

＜Hints>（１） は6n^2+5が5kで はすべて素 数ならずです。簡単にいくでしょう。
（２）５の剰余で進めるしかなさそうです。そのために（１）があるのでしょう。

北 大(理）第1問

＜Hints>ま だ、新受験生にとっては苦手な問題かもしれません。ベクトルOA,
ベクトルOBで 定められた平面の法線ベクトルを求められるか？その打診を
している問題です。教科書の章末レベルの問題ですが侮れません。
平面はベクトルOA,OBと 線分ABで ７つの領域に分かれますが、
ベクトルOQ＝ｋ・OA＋ｌ・OBと したとき、 ｋ、ｌの正負および１との大小でその領域を
表すことができます。簡単な例を自分で作り確認の作業をしてみて下さい。この手
の問題への対応力をつける一番の方法です。

明日から4月、3年 生にとっては いよいよ勝負の年がやってきました。また、満を持して後1年
の奮闘に向かう浪人生の方もおられるでしょう。いずれにせよ、来年3月 に桜の開花とともに
吉報が入ることを願ってやみません。
いつも通り、４月は名大の問題でいきます。4問 とも手強い良問となっています。
第1問 （１）、（２）は三角関数の積分問題で漸化式となっています。よくある問題といえます。
出題者が用意したヒントは使わない解答が自分としては好きです。
（３）　まず、平面y=tで 切ってできる円のx=1/2か らx=tま での面積を求めます。さらに、tをy=0
からy=1/2ま で動かすとSの 体積が求まります。
数�Vと複素数は、公立だとこれからの分野にな りますが、自学自習による先取りを勧めま す。
理系では勝負の分かれ目になってくる分野といえるでしょう。
第２問はベクトルの問題。少し幾何っぽいところが名大らしいです。図形問題は、与条件 のフル
利用になります。隠し味のように、さりげなく与えられた条件を見逃すと問題は解けませ ん。
（１）始点をAに とって、BB'とCC'が 平面pに 垂直であるこ と利用する問題。下手するとはまります
ので要注意！（２）素直に素朴にが絵に描いたような問題。

10連 休ですので、少し早めに上げました。

今月は整数問題2問 となります。最初の問題は名大から、次の問題は東大の問題です。
どちらも綺麗ないい問題となっています。整数問題の独特の雰囲気はたまりませんね。
どちらが難しいでしょうか？私は名大にだと思いますが、ご覧になっている皆さんはどち らを
選ぶでしょうか？
整数問題は、いじりすぎると益々いじけてしまいます。ソフトタッチで論理的に思考を進 めて
いかないとなりません。この2問、 大切に時間をかけて解いて下さい。
名大（１）、ガウス記号に誘われますがそこまでは不要。出だしは素朴で構いません。し かし、
ツメは難しいかも。
東大（１）、n=1,2,3,4,ぐ らいでsampleを とると意外に見通しは簡単かもしれません。後は、方法論
になります。n=11ま で を参考資料で載せておきます。




　　　　　東大 ３−（１）参考ファイル

(1) z=10x+y（x=0,1,2、y=0〜9） とします。こ のとき、全てのｚが異なることを示せ。
(2) 上の問題が成立するための、yに 関する条件をいいなさい。

＊「ゼロから作るDeepLearning�A」 を参考にしています。素朴に、全てを書き出すのもよし、
最後のツメは対偶で処理という方法もあるでしょう。
元号が変わっていくのを感じながら作りました。
mailをくれればチェックの結果を送ります。

京都大第1問 の問題です。2問 ともサービス問題と言えるでしょう。
問1　 ２と３の最小公倍数は６となりますので、この辺あたりが満たすθの ヒントになってくるでしょう。
見かけは難しそうです。でも、どこかで触れましたが、素朴にsimpleに 行くことが肝要。
cosθの値には、2乗 の結果が有理数になるものが無数にあります。理由は自分で考えてください。
cos2θは2乗 の形に直せますので有理数は明らかです。問題は３θで す。３倍角に直した式をcosθ
で括ると1次 式と3次 式の積になりますのでもって行き方が見えてくるはずです。正直、解答概略の作
成後、2つ の予備校の解答を見ましたが解法が難しくすぐに理解ができませんでした。
大学の先生は、繊細で緻密ですが発想は意外と素朴でsimpleで す。
覚えておいて損はないでしょう。

問2は 完全なサービス問題です。受験直前には、見ただけでもって行き方が思いつかないとい
けない問題です。
公立校ですと、今頃はまだ微分に入った段階でしょう。数�Vは、 理系の人には一生ついて 回る数
学になります。これがベースになって理工系の数学が存在するのです。
微分のコツは、合成関数の微分・ｘ無しでの微分(例：(y^2)'=2yy）・対数微分にどれだけ慣れるか にあり
ます。ここを的確に仕上げるのが大切です。私も危ないなと思うときは、対数微分を使っ て公式を確認
しています。
そして、力に応じて疑問が増してくる「ネイピア数e」 を自分に同化させることでしょう。eに ついては、
適当な問題が見つかったときに簡単に触れましょう。兎に角、数�Vを 楽しんで下さい。数 �Vを楽し
めば楽しむほど数学の力がついてきます。不思議ですね！

阪大第3問 目の問題です。何故かこの問題がサービス問題になっているようです。
(1),(2)は数�Uまでの知識で解けま す。(1)判 別式(2） 解と係数の関係の問題となっています。
特に、(2)は 定番の問題、受験先が何処であれ落としてはいけない問題です。
阪大だと、完答して当たり前というところですか？
(1)は存在「あり、なし」に関する問題です。易しいですが良問と言えるでしょ う。

所用のため、28日 より不在となりますので少し早いですが問題をUPし ます。
今月も京都大の問題2問 となります。最後の6番 から、受験問題は後半になると難しくなって幾
ものですが、これはかなりの易問。落としてはいけない問題の一つでしょう。阪大もそう でしたが、
問題の配列の仕方が変わってきているのでしょうか？両大とも、何処にサービス問題が転 がって
いるか分からない状態です。受験時の基本、第1問 目から最後の問題までザーット目を通すの
が当たり前、その当たり前を守れということでしょうか。

九州大第２番

神戸大第５番

神戸大第１番

 

京都大(理)5番の問題。

＜ヒント＞　上の段から丁寧に攻めていけば　４！×６×４　が出るで しょう。