| (5) 体、拡大体 ガロワ１へ ガロワ２へ ガロワ３へ ガロワ４へ ガロワ５へ ガロワ６へ ガロワ７へ ガロワ７−２へ ガロワ８へ ガロワ９へ ガロワ１０ |
|
| （ｉ） 体とは？ 前回、大げさに体論としましたが「論」付けはおこがましかったかも知れません。 出だしは手っ取り早くいきましょう。高校生なら既習事項の「有理数」とか「実数」を思い出してくださいそれで十分間に合います。 体の定義（体であることの証） 次の４性質が満たされる集合のことです。 （１） 加減乗除で閉じていること ＋、−、×、÷の結果がまた有理数ｏｒ実数の集合に入るということ （２） 単位元がある ０（加法）と１（乗法）です （３） 逆元がある ａに対して−ａ 、ａｂ＝１となるｂがある （４） ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ 、ａｂ＝ｂａ （交換律） ａ＋（ｂ＋ｃ）＝（ａ＋ｂ）＋ｃ ａ×（ｂ×ｃ）＝（ａ×ｂ）×ｃ （結合律） ａ（ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ （分配律） |
|
| （ｉｉ） ２次体について 正式には拡大体と呼ばれるものの一種なのですが、最も取っ付きやすく面白いのでこれを例としてStartしましょう。 |
|
  |
2次体といいます。１個の数から拡大されますので単拡大体と呼ばれます。単＝singleだからだと思います。 （ア）以降は、用意されれば１次式の因数分解まで持ち込めますので、方程式の最小分解体とも呼ばれます。 3次の拡大体といいます。 基底=base |
| 拡大体については、7-2でほんの少し触れていますがまたやってみましょう。 岩波の月刊誌に「数学」というのがあります。だいぶ前の号といってもかなり前になりますが、数論を中心とした若手数学者による座談会の模様が特集として組まれていました。その中で、私の記憶に間違いがなければ、若手数学者が薦める本として高木貞治著『初等整数論』《２次体》部分が上がっていました。この辺だと古いとはいえ現代数学の入り口に当たり研究の第一歩にあたるのだそうです。 |
訂正２０１５０６０３ 日本評論社（入門数学５）「数論への出発」でした。絶版かもしれません。 |
  20140924 |
|
 |
後で、単拡大体とみなせるようにできることをやります。ここで、取り上げたのは早かったのかもしれません。 このページの（カ）（キ）を見てください。 訂正２０１５０６０３ お茶の水女子大ではなく、 1969年一橋大でした。 これは余りにも我流「亜最小多項式」は無しがいいのかも。2つを解にする「最低次数の多項式」に読みかえてください。 |
 |
訂正２０１５０６０３ 大変良い本です。見出しの(iii)「本書の利用にあたって」など、どのように数学の学習を進めるべきかアドバイスがあり参考になるというよりは心打たれるものがあります。 問題と解答が適切なので問題集代わりに使っていますが。 |
 |
これは、galois１で紹介した。１２の６．１２（P.79)の問題です。 P.143に関連記事があります 別解上の下線部を １次独立でない に訂正。 訂正２０１５０６０３ |
  ここまでくれば、参考文献０（P95〜９７）にある次の定理が理解できるでしょう。  |
草場P９５〜９７参考のこと。 見かけは単拡大ではないけれど単拡大に他なりません。 １２ ６−１４の問題 |
| ガロワ１へ ガロワ２へ ガロワ３へ ガロワ４へ ガロワ５へ ガロワ６へ ガロワ７へ ガロワ７−２へ ガロワ８へ ガロワ９へ ガロワ１０ |